El
término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría
de números. Este es un término bastante
antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de
números suele ser denominada alta aritmética,3 aunque
el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no
debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que
estudia la aritmética
de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que
estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.
Teoría
elemental de números
En la
teoría elemental de números, se estudian los números enteros sin emplear técnicas
procedentes de otros campos de las matemáticas. Pertenecen a la teoría
elemental de números las cuestiones de divisibilidad, el algoritmo
de Euclides para calcular el máximo común divisor,
la factorización de los enteros como producto de números primos, la
búsqueda de los números perfectos y las congruencias. Son
enunciados típicos el pequeño teorema
de Fermat y el teorema de Euler que lo
extiende, el teorema chino del resto y la ley de reciprocidad
cuadrática. En esta rama se investigan las propiedades de las funciones
multiplicativas como la función de Möbius y la función φ de
Euler; así como las sucesiones de números enteros como los factoriales y
los números de Fibonacci.
Diversos cuestionamientos dentro de la
teoría elemental de números parecen simples, pero requieren
consideraciones muy profundas y nuevas aproximaciones, incluyendo las
siguientes:
§ Conjetura
de Goldbach sobre que todos los números pares (a partir de 4) son la suma
de dos números primos.
§ Conjetura
de los números primos gemelos sobre la infinitud de los llamados números
primos gemelos
§ Último
teorema de Fermat (demostrado en 1995)
§ Hipótesis
de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de
Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los
números primos.
Teoría
analítica de números
La
teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y
el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números
enteros. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y
la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de
los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también
están siendo atacados a través de métodos analíticos.
Teoría
de números aditiva
La
teoría de números aditiva trata de una manera más profunda los problemas de
representación de números. Problemas típicos son los ya nombrados, problema
de Waring y la conjetura de Goldbach. Esta rama se suele utilizar
algunos resultados referentes a la teoría analítica de números, tales como el método
del círculo de Hardy-Littlewood, a veces se complementa con la teoría de
cribas y en algunos casos suelen usarse métodos topológicos.
Teoría
algebraica de números
La teoría
algebraica de números es una rama de la teoría de los números en la cual
el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las
raíces de los polinomios con coeficientes racionales.
Teoría
geométrica de números
La
teoría geométrica de números (tradicionalmente llamada geometría de números)
incorpora todas las formas de geometría. Comienza con el teorema de
Minkowski acerca de los puntos comunes en conjuntos convexos e investigaciones
sobre superficies esféricas.
Teoría
combinatoria de números
La
teoría combinatoria de números trata los problemas de la teoría de números
involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones. Paul
Erdős es el creador de esta rama de la teoría de números. Los temas
típicos incluyen sistemas cubiertos, problemas de suma cero, diversos conjuntos
restringidos y progresiones aritméticas en un conjunto de enteros. Los métodos
algebraicos o analíticos son bastante poderosos en este campo.
Teoría
computacional de números
La
teoría computacional de números estudia los algoritmos relevantes de
la teoría de números. Los algoritmos rápidos para evaluar números primos y
factorización de enteros tienen importantes aplicaciones en criptografía.
Historia
Los
matemáticos en la India se han interesado en encontrar soluciones
enteras a las ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas.
El primer uso geométrico de las ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba
Sutras, los cuales fueron escritos entre los siglos VIII y VI a. C. Baudhayana(s.
VII a. C.) encontró dos conjuntos de enteros positivos a un conjunto
de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan ecuaciones diofánticas
simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (s.
VI a. C.) usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco
incógnitas.
Los
matemáticos de la época jainia fueron los primeros en descartar la idea de que
todos los infinitos son los mismos o iguales. Reconocen cinco tipos de
infinitos diferentes: infinito en una o dos direcciones (unidimensionales),
infinito en superficies (bidimensional), infinito en todas partes
(tridimensional) y perpetuamente infinito (en un número infinito de
dimensiones).
La
teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los
matemáticos griegos de Alejandría, Egipto a partir del siglo
III a. C., quienes tenían conciencia del concepto de ecuación
diofántica en sus casos particulares. El primer matemático helenístico que
estudió estas ecuaciones fue Diofanto.
Diofanto
investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las ecuaciones
lineales indeterminadas, ecuaciones en las que falta información
suficiente para producir un conjunto único de respuestas discretas. La
ecuación 
es un
ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas
pueden ser reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son
conocidas, incluso a través de una solución que no lo es.
Las
ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los
matemáticos indúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar
sistemáticamente métodos para la determinación de soluciones enteras. Aryabhata en
el 499 da la primera descripción explícita de la solución entera
general de la ecuación diofantina lineal 
, la cual
aparece en su texto Aryabhatiya. El algoritmo kuttaka es
considerado como una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en
las matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema
de ecuaciones diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en
la astronomía. También encuentra la solución general de la ecuación lineal
indeterminada utilizando este método.
Brahmagupta trabaja
en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles. Utiliza el
método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas
cuadráticas, incluyendo aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal
que 
.
Su Brahma Sphuta Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y
al latín en 1126. La ecuación fue
propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de
Fermat. La solución general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue
encontrada 70 años más tarde por Leonhard Euler, aunque la solución
general de la ecuación de Pell fue encontrada 100 años más tarde por Joseph-Louis
de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes, la ecuación de
Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una
versión modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando
la solución general de otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas
y ecuaciones diofánticas cuadráticas. El método chakravala para encontrar
la solución general de la ecuación de Pell era más simple que el método
utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara encuentra también la
solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas, cuárticas y polinómicas de
mayores grados.
Narayana Pandit perfeccionó
aún más las demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados
superiores.
